\documentclass{physlecture}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{bm, amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{float, graphicx}
%\usepackage{flexisym, breqn, bracemath}
\usepackage{mymathutils}

\author{Д.\,А.~Паршин, Г.\,Г.~Зегря}
\lecturenumber{12}
\course{Квантовая механика}

\newcommand{\conjug}[1]{#1^*}
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\begin{document}
  \maketitle
  \tableofcontents

  \section{Волновая функция и её физический смысл.}
    Основу математического аппарата квантовой механики составляет утверждение о
    том, что состояние системы может быть описано определённой (вообще говоря,
    комплексной) функцией координат \(\psi(q)\), причём квадрат модуля
    \(\abs{\psi(q)}^2\) определяет распределение вероятностей значений координат:
    \(\abs{\psi(q)}^2dq\) есть вероятность того, что произведённое над системой
    измерение обнаружит значения координат в элементе \(dq\) конфигурационного
    пространства.

    На функцию \(\psi\) вводится условие нормировки:
    \begin{equation*}
      \int \abs{\psi}^2dq = 1,
    \end{equation*}
    гарантирующее нахождение измеренных значений координат хоть в какой-нибудь
    точке конфигурационного пространства.

    При всех перечисленных выше условиях, \(\psi(q)\) называется \emph{волновой
    функцией системы}. Знание волновой функции позволяет в принципе вычислить 
    вероятности различных результатов также и вообще всякого измерения (не
    обязательно измерения координат). При этом все эти вероятности определяются
    выражениями, билинейными по \(\psi\) и \(\conjug{\psi}\). Наиболее общий вид
    такого выражения:
    \begin{equation*}
      \iint \psi(q)\conjug{\psi}(q')\varphi(q, q')dqdq',
    \end{equation*}
    где функция \(\varphi(q, q')\) зависит от рода и результата измерения.
    Интегрирование идёт по всему конфигурационному пространству. Сама
    вероятность \(\psi\conjug{\psi}\) различных значений координат является
    выражением следующего типа:
    \begin{equation*}
      \varphi(q, q') = \delta(q - q_0)\delta(q' - q_0).
    \end{equation*}

    Рассмотрим подробнее условие нормировки
    \begin{equation*}
      \int \abs{\psi}^2dq = 1.
    \end{equation*}
    Если интеграл от \(\abs{\psi}^2\) сходится, то нормировку можно получить
    выбором соответствующего постоянного коэффициента. Но интеграл может и
    расходиться, тогда дробь 
    \begin{equation*}
      \frac{\abs{\psi(q_1)}^2}{\abs{\psi(q_1)}^2}
    \end{equation*}
    определяет отношение вероятностей.

    Получим нормировку для волны де-Бройля:
    \begin{equation*}
      \psi(\vec{r}) = Ae^{\frac{i}{\hbar}\dotprod{\vec{p}}{\vec{r}}}.
    \end{equation*}
    В данном случае \(\abs{\psi}^2 = A^2\). Проинтегрируем по всему пространству:
    \begin{equation*}
      1 = \int \abs{\psi}^2 dV = A^2\int dV = A^2V.
    \end{equation*}
    Таким образом, условию нормировки удовлетворяет
    \begin{equation*}
      A = \frac{1}{\sqrt{V}}.
    \end{equation*}

    Нормированная волновая функция определена лишь с точностью до постоянного
    фазового множителя вида \(e^{i\alpha}\), где \(\alpha\) --- произвольное
    вещественное число. Эта неоднозначность принципиальная, и не может быть
    устранена, так как не отражается ни на каких физических результатах.
  \section{Свойства волновой функции.}
    Пусть в состоянии \(\psi_1(q)\) некоторое измерение с достоверностью приводит
    к определённому результату \([1]\), а в состоянии \(\psi_2(q)\) --- к
    результату \([2]\). Тогда всякая линейная комбинация \(C_1\psi_1 + C_2\psi_2\)
    описывает состояние, в котором то же измерение даёт либо результат \([1]\),
    либо результат \([2]\).

    Кроме того, если нам известна зависимость состояний от времени \(\psi_1(q,
    t)\) для одного случая и \(\psi_2(q, t)\) --- для другого случая, то любая
    их линейная комбинация даёт также возможную зависимость состояний от времени.

    Это составляет содержание \emph{принципа суперпозиции} --- основного
    принципа квантовой механики. Отсюда следует, что все уравнения, которым
    удовлетворяет волновая функция, должны быть линейными по \(\psi\).

  \section{Операторы. Дискретный и непрерывный спектр. Разложение волновой
  функции по собственным функциям оператора некоторой физической величины.}
    Пусть \(f\) --- некоторая физическая величина. Значения, которые она может
    принимать, называются её \emph{собственными значениями}. Об их совокупности
    говорят как о \emph{спектре} собственных значений.
    
    Спектр может быть \emph{непрерывным} и \emph{дискретным}.

    Рассмотрим дискретный спектр \(f_n\), где \(n = 0, 1, 2, \dots\).
    Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина \(f\)
    имеет значение \(f_n\) как \(\psi_n\). Волновые функции \(\psi_n\) называются
    собственными функциями величины \(f\).
    \begin{equation*}
      \int \abs{\psi_n}^2dq = 1.
    \end{equation*}

    Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией
    \(\psi\), то произведённое измерение величины \(f\) даст в результате одно
    из собственных значений \(f_n\). Поэтому
    \begin{equation*}
      \psi = \sum_n a_n\psi_n.
    \end{equation*}

    Таким образом всякая волновая функция может быть разложена по собственным
    функциям любой физической величины. \(\abs{a_n}^2\) определяет вероятность
    вероятность соответствующего разложения \(f_n\). Поэтому
    \begin{equation*}
      \sum_n \abs{a_n}^2 = 1.
    \end{equation*}
    Строго говоря, это верно только для нормированных функций \(\psi\). Поэтому
    \begin{equation*}
      \sum_n a_n\conjug{a_n} = \int \psi\conjug{\psi} dq.
    \end{equation*}

  \section{Условие нормировки и ортогональности волновых функций.}
    Умножим на \(\psi\) разложение
    \begin{equation*}
      \conjug{\psi} = \sum_n \conjug{a_n} \conjug{\psi_n}
    \end{equation*}
    и проинтегрируем его по \(q\):
    \begin{equation*}
      \int \psi\conjug{\psi}dq = \sum_n \conjug{a_n} \int \conjug{\psi_n}\psi dq
      = \sum a_n \conjug{a_n}.
    \end{equation*}
    Отсюда получаем формулу
    \begin{equation*}
      a_n = \int \psi\conjug{\psi_n}dq.
    \end{equation*}
    Подставим сюда \(\psi = \sum_m a_m\psi_m\):
    \begin{equation*}
      a_n = \int \sum_m a_m\psi_m \conjug{\psi_n}dq = \sum_m a_m \int \psi_m\conjug{\psi_n}dq.
    \end{equation*}
    С другой стороны,
    \begin{equation*}
      a_n = \sum_m a_m \delta_{mn}.
    \end{equation*}
    Отсюда получаем
    \begin{equation}
      \int \psi_m \conjug{\psi_n}dq = \delta_{mn}
    \label{eq:ortho}
    \end{equation}
    --- условие нормировки и ортогональности. Отсюда можно сделать вывод о том,
    что \(\psi_n\) --- полная система ортонормированных функций, то есть, базис.

  \section{Среднее значение физической величины.}
    \emph{Среднее значение} физической величины описывается как
    \begin{equation}
      \bar{f} = \sum_n f_n \abs{a_n}^2.
    \label{eq:averaged}
    \end{equation}

    Пусть оператор \(\hat{f}\) определён таким образом:
    \begin{equation*}
      \bar{f} = \int \conjug{\psi} (\hat{f} \psi) dq.
    \end{equation*}
    Тогда легко показать, что это совместимо, если
    \begin{equation*}
      \hat{f}\psi_n = f_n\psi_n.
    \end{equation*}
    Действительно,
    \begin{align*}
      \bar{f} &= \int \conjug{\psi} (\hat{f}\psi)dq =
      \int \left( \sum_n\conjug{a_n}\conjug{\psi_n} \right)\left( \hat{f}\sum_m
      a_m\psi_m \right)dq =\\
      &= \int\left( \sum_n\conjug{a_n}\conjug{\psi_n} \right)
      \left( \sum_m a_m f_m \psi_m \right)dq = \sum_{n,m} \conjug{a_n}a_m
      \underbrace{\int \conjug{\psi_n}\psi_m dq}_{\delta_{nm}} fm =\\
      &=\sum_n \conjug{a_n}a_nf_n = \sum_n \abs{a_n}^2 f_n.
    \end{align*}

    Как собственные значения вещественной физической величины, так и её средние
    значения во всяком состоянии --- вещественные. Это накладывает определённые
    ограничения на свойства соответствующих операторов:
    \begin{equation*}
      \hbar{f} = \int \conjug{\psi} (\hat{f}\psi)dq = \int
      \psi(\conjug{\hat{f}}\conjug{\psi}) dq.
    \end{equation*}
    Так, если \(\hat{f}\psi = \varphi\), то \(\conjug{\hat{f}}\conjug{\psi} =
    \conjug{\varphi}\). Для произвольного линейного оператора ---
    \begin{eqnarray*}
      \hat{f}(\psi_1 + \psi_2) &=& \hat{f}\psi_1 + \hat{f}\psi_2, \\
      \hat{f}(\alpha \psi) &=& \alpha\hat{f}\psi,
    \end{eqnarray*}
    --- такое соотношение, вообще говоря, не имеет места, поэтому это есть
    ограничение, налагаемое на возможный вид оператора \(\hat{f}\).
  \section{Транспонированный оператор. Эрмитов оператор.}
    Каждому оператору \(\hat{f}\) соответствует \emph{транспонированный} оператор:
    \begin{equation}
      \int \Phi(\hat{f}\psi)dq = \int\psi\left( \tilde{\hat{f}}\Phi \right)dq,
    \label{eq:transposed}
    \end{equation}
    где \(\Phi\) и \(\psi\) --- две различные функции. Если выбрать \(\Phi =
    \conjug{\psi}\), то
    \begin{equation*}
      \int \conjug{\psi} (\hat{f} \psi)dq = \int \psi(\tilde{\hat{f}}\conjug{\psi})dq,
    \end{equation*}
    т.\,е.,
    \begin{equation}
      \tilde{\hat{f}} = \conjug{\hat{f}}.
    \label{eq:Hermite}
    \end{equation}
    Тогда такой оператор называется \emph{эрмитовым}.

    Таким образом, операторы, соответствующие в математическом аппарате квантовой
    механике вещественным физическим величинам, должны быть эрмитовыми.

    Можно доказать взаимную ортогональность собственных функций эрмитового
    оператора.
    \begin{align*}
      \hat{f}\psi_n &= f_n \psi_n, &
      \conjug{\hat{f}}\conjug{\psi_m} &= f_m \conjug{\psi_m}.
    \end{align*}
    Левое равенство умножим на \(\conjug{\psi_m}\), правое --- на \(\psi_n\),
    после чего вычтем правое равенство из левого:
    \begin{equation*}
      \conjug{\psi_m}\hat{f}\psi_n - \psi_n\conjug{\hat{f}}\conjug{\psi_m} = 
      (f_n - f_m) \psi_n\conjug{\psi_m}.
    \end{equation*}
    Проинтегрируем левую часть:
    \begin{align*}
      \int\conjug{\psi_m}\hat{f}\psi_ndq - \int \psi_n \conjug{\hat{f}}\conjug{\psi_m}dq &=
      \int\conjug{\psi_m}\hat{f}\psi_ndq - \int \psi_n \tilde{\hat{f}}\conjug{\psi_m}dq = \\
      &= \int\conjug{\psi_m}\hat{f}\psi_ndq - \int\conjug{\psi_m}\hat{f}\psi_ndq = 0.
    \end{align*}
    Значит и интеграл правой части равен нулю:
    \begin{equation*}
      (f_n - f_m) \int \psi_n\conjug{\psi_m}dq = 0,
    \end{equation*}
    а значит, при \(n \neq m\), то есть, когда \(f_n \neq f_m\),
    \begin{equation}
      \int \psi_n\conjug{\psi_m} = 0.
    \label{eq:orthoHermite}
    \end{equation}

\end{document}
